相关系数最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标，是研究变量之间线性相关程度的量，一般用字母 r 表示。由于研究对象的不同，相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔逊相关系数。

相关表和相关图反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。

需要说明的是，皮尔逊相关系数并不是唯一的相关系数，但是最常见的相关系数，以下解释都是针对皮尔逊相关系数。

依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。

中文名：相关系数

基本释义：度量两个变量间的线性关系

描述：线性关系

设计者：卡尔·皮尔逊

外文名：Correlation coefficient

常用：皮尔逊相关系数

特点：无量纲

相关系数

相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式。

简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数，一般用字母r 表示，用来度量两个变量间的线性关系。

定义式

其中，Cov(X,Y)为X与Y的协方差，Var为X的方差，Var为Y的方差

复相关系数：又叫多重相关系数。复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。例如，某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。

典型相关系数：是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。

相关系数

这里，，是一个可以表征和之间线性关系紧密程度的量。它具有两个性质：

（1）

（2）的充要条件是，存在常数a，b，使得

由性质衍生：

a. 相关系数定量地刻画了 X 和 Y的相关程度，即越大，相关程度越大；对应相关程度最低；

b. X 和Y 完全相关的含义是在概率为1的意义下存在线性关系，于是是一个可以表征X 和Y 之间线性关系紧密程度的量。当较大时，通常说X 和Y相关程度较好；当较小时，通常说X 和Y相关程度较差；当X和Y不相关，通常认为X和Y之间不存在线性关系，但并不能排除X和Y之间可能存在其他关系。

若X和Y不相关，，通常认为X和Y之间不存在线性关系，但并不能排除X和Y之间可能存在其他关系；若，则X和Y不相关。

若X和Y独立，则必有，因而X和Y不相关；若X和Y不相关，则仅仅是不存在线性关系，可能存在其他关系，如，X和Y不独立。

因此，“不相关”是一个比“独立”要弱的概念。

软件公司在全国有许多代理商，为研究它的财务软件产品的广告投入与销售额的关系，统计人员随机选择10家代理商进行观察，搜集到年广告投入费和月平均销售额的数据，并编制成相关表，见表1:

表1广告费与月平均销售额相关表　单位：万元

年广告费投入	12.5	15.3	23.2	26.4	33.5	34.4	39.4	45.2	55.4	60.9
月均销售额	21.2	23.9	32.9	34.1	42.5	43.2	49.0	52.8	59.4	63.5

参照表1，可计算相关系数如表2：

序号	广告投入(万元) x	月均销售额(万元) y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	12.5 15.3 23.2 26.4 33.5 34.4 39.4 45.2 55.4 60.9	21.2 23.9 32.9 34.1 42.5 43.2 49.0 52.8 59.4 63.5	156.25 234.09 538.24 696.96 1122.25 1183.36 1552.36 2043.04 3069.16 3708.81	449.44 571.21 1082.41 1162.81 1806.25 1866.24 2401.00 2787.84 3528.36 4032.25	265.00 365.67 763.28 900.24 1423.75 1486.08 1930.60 2386.56 3290.76 3867.15
合计	346.2	422.5	14304.52	19687.81	16679.09

相关系数为0.9942，说明广告投入费与月平均销售额之间有高度的线性正相关关系。

【例】若将一枚硬币抛n次，X表示n次试验中出现正面的次数，Y表示n次试验中出现反面的次数。计算ρXY。

解：由于X+Y=n，则Y=-X+n，根据相关系数的性质推论，得ρXY= − 1。

企业物流

【例】一种新产品上市。在上市之前，公司的物流部需把新产品合理分配到全国的10个仓库，新品上市一个月后，要评估实际分配方案与之前考虑的其他分配方案中，是实际分配方案好还是其中尚未使用的分配方案更好，通过这样的评估，可以在下一次的新产品上市使用更准确的产品分配方案，以避免由于分配而产生的积压和断货。表1是根据实际数据所列的数表。

通过计算，很容易得出这3个分配方案中，B的相关系数是最大的，这样就评估到B的分配方案比实际分配方案A更好，在下一次的新产品上市分配计划中，就可以考虑用B这种分配方法来计算实际分配方案。

聚类分析

【例】如果有若干个样品，每个样品有n个特征，则相关系数可以表示两个样品间的相似程度。借此，可以对样品的亲疏远近进行距离聚类。例如9个小麦品种(分别用A1,A2,...,A9表示)的6个性状资料见表2，作相关系数计算并检验。

由相关系数计算公式可计算出6个性状间的相关系数，分析及检验结果见表3。由表3可以看出，冬季分蘖与每穗粒数之间呈现负相关(ρ = − 0.8982)，即麦冬季分蘖越多，那么每穗的小麦粒数越少，其他性状之间的关系不显著。

需要指出的是，相关系数有一个明显的缺点，即它接近于1的程度与数据组数n相关，这容易给人一种假象。因为，当n较小时，相关系数的波动较大，对有些样本相关系数的绝对值易接近于1；当n较大时，相关系数的绝对值容易偏小。特别是当n=2时，相关系数的绝对值总为1。因此在样本容量n较小时，我们仅凭相关系数较大就判定变量x与y之间有密切的线性关系是不妥当的。

秩相关系数

kendall 秩相关系数

spearman 相关系数